Lab 18 — Cosmology

フリードマン方程式 — 宇宙の一生を決める1本の式

宇宙が一様で等方だと仮定すると、アインシュタイン方程式はたった1本に潰れます。あとは「中に何がどれだけ入っているか」— 放射 Ω_r、物質 Ω_m、曲率 Ω_k、宇宙定数 Ω_Λ — を決めれば、宇宙の全史が一意に出てきます。各成分は薄まる速さが違う（放射が最速、次に物質、Λ は薄まらない）ので、どれが優勢かが時代とともに入れ替わる。それが宇宙の歴史そのものです。上のグラフがスケール因子 a(t)、下は同じ解を空間として描いたもの。放射は測定量である Ω_r h² = 4.15×10⁻⁵ で固定し、Ω_r は H₀ から導いています。放射がある以上どの設定でも初期は放射優勢で、そのため Ω_k = Ω_Λ = 0 のちょうどアインシュタイン＝ドジッター宇宙はスライダー上には存在しません（「平坦に固定」で Ω_m = 1 にすると Ω_Λ = −9×10⁻⁵ になり、a ≈ 10⁴ で再収縮します）。

数字は本物です。実測値（H₀ = 67.4 km/s/Mpc、Ω_m = 0.315、Ω_Λ = 0.685）を入れると年齢 13.79 Gyr — Planck 2018 の 13.797 ± 0.023 Gyr と一致します。減速パラメータ q₀ = −0.527 が負であること、これが1998年に超新星で見つかった「宇宙は加速している」という結果そのものです。Λ が物質を追い越したのは z ≈ 0.3（つい最近）、物質と放射が等しかったのは z ≈ 3400（宇宙の晴れ上がりの少し前）。積分器は閉じた形の解があるケース — アインシュタイン＝ドジッター（2/3H₀）、空虚な宇宙（1/H₀）、放射のみ（1/2H₀）、平坦 ΛCDM の asinh 解、物質＋放射の閉形式、閉じた物質宇宙の再収縮時刻 — と照合してあります（前4つは 1e-8 以上、再収縮時刻は 2e-4）。なお a が小さいところに描かれた銀河は「共動座標の目印」で、実際には最初の数億年に銀河はまだありません。ニュートリノも今日は非相対論的なので、Ω_r は初期宇宙の実効的な放射を a⁻⁴ で今日まで外挿した量です（慣例どおり、効いてくる a ≪ 1 では正しい）。