Lab 02 — Signal Processing

フーリエ変換 — 測って、周波数へ

何かを測ると、たいてい「波形（時間の信号）」が手に入ります。フーリエ変換はその測定値 x を、周波数という別の基底へ移す線形写像 X = F x。混ざって届いた信号を、足し算のまま「どの周波数がどれだけ入っているか」へほどきます。上の緑が測定した波形、下の金がその変換結果（スペクトル）。マイクを選べば、あなたの声や口笛を実際に測って、その場で変換します。

X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\,e^{-2\pi i kn/N}\ \Longleftrightarrow\ X=F\,x,\qquad F(\alpha x+\beta y)=\alpha\,Fx+\beta\,Fy

音源を選ぶ：純音はピーク1本、和音は3本、方形波は奇数倍音の櫛、ノイズは真っ平ら。「🎤 マイク」は実測（ブラウザの許可が必要）

基本周波数 ff = 440 Hz

状態—

X = F x

離散フーリエ変換は、行列 F を左から掛けるだけの一次変換。測定信号 x を「周波数」という基底に取り替える操作です。F の各行 k は1つの周波数の波、成分 X_k はその行と信号の内積（相関）。色は cos の符号（金＝＋／緑＝−）。今いちばん強い周波数の行が光ります。

実際の計測でもこの流れは定番です — マイクで音圧を測ってピッチや声紋にする、FTIR 赤外分光は干渉計で干渉波形を測ってフーリエ変換でスペクトルにする、NMR は原子核の減衰信号（FID）を、MRI は空間周波数（k空間）を測って画像に戻す、X線結晶構造解析は回折を測って電子密度に。JPEG や MP3 の圧縮も本質は同じ — 周波数に分解し、寄与の小さい成分を捨てているだけです。